経緯台の天頂問題と実機への反映

「経緯台の天頂問題」とは、経緯台で恒星を追尾する場合に、天頂付近における方位軸の追尾速度が理屈上無限大になるというものです。
経緯台では、水平軸，高度軸の両軸を滑らかに変速しなければなりませんが、その速度の変化を "どうやって" "どの程度の精度" でモータに実現させるかは、主にこの天頂問題に関わってきます。

１．経緯台の天頂問題

■ 定義 ■
P ：天の北極
Z ：天頂
N ：真北
S ：対象星
φ：観測地の緯度
t ：恒星の時角
δ：恒星の赤緯
A ：恒星の方位
h ：恒星の高度 (0≦h≦90)

方位軸，高度軸の追尾速度の計算式より、
dh/dt = -sinA・cosφ　　--- (1) 高度方向の追尾速度
dA/dt = tanh・cosA・cosφ+sinφ　　--- (2) 方位方向の追尾速度

この式の意味するところを考察する。
(1) 高度軸の可変範囲
(1)式において右辺の、-1≦sinA≦1 , 0≦cosφ≦1 であるから、
-1 ≦ dh/dt ≦ 1
すなはち、
高度軸の可変範囲は最大で恒星時スピードとなる

(2) 方位軸の可変範囲（天頂問題）
(2)式において右辺の、tanh により高度h が90度に近くなると無限大になる。
sinφ≦ dA/dt ≦∞ (h=90度のとき ∞)
方位軸は、天頂付近で極めて大きな追尾速度が必要となる

以上が、天頂問題の数学的表現です。このため、経緯台式の架台においては、天頂を観測できないこと多く、天頂からのある一定範囲を避けて制御しています。

２．「方位軸，高度軸の追尾速度」の実機への反映

前述の２式のうち、高度軸の回転速度は、-1 ≦ dh/dt ≦ 1 ですから特に問題になりません。ここでは、方位軸の速度が実際にどの程度のスピードになるか、実際の数値を計算してみます。

○方位軸の追尾速度　　dA/dt = tanh・cosA・cosφ+sinφ

(1) φ= 0°赤道上のとき
   dA/dt = tanh・cosA
   最大値は cosA=1 (南中時)
     ・h= 87°のとき ：19.1
     ・h= 85°のとき ：11.4
     ・h= 80°のとき ： 5.7

(2) φ=30°のとき
   dA/dt = 0.866 tanh・cosA + 0.5
   最大値は cosA=1 (南中時)
     ・h= 87°のとき ：17.0
     ・h= 85°のとき ：10.4
     ・h= 80°のとき ： 5.4

(3) φ=60°のとき
   dA/dt = 0.5 tanh・cosA + 0.866
   最大値は cosA=1 (南中時)
     ・h= 87°のとき ：10.4
     ・h= 85°のとき ： 6.6
     ・h= 80°のとき ： 3.7

(4) φ=90°北極上のとき
   dA/dt = 1  ---  恒星時に同じ

---- 以上より、「16倍速で設計」すれば、高度８５°以下で稼動可能となります。もちろんこの数値の許容範囲を大きくする設計は可能ですが、これらの数値と天頂領域の制限と天秤にかけることになります。
A-ZEUS では、追尾周波数の生成を POST-AA と名づけたPICマイコン利用のモジュールで行っています。POST-AA の生成周波数範囲は3000PPS (1秒間に3000パルス)を上限として設計していますので、これから計算される追尾可能な限界高度を一覧に示します。

表中の青の網掛けは機械部の現実的な範囲です。黄色の網掛けは、東京付近（北緯35°）で A-ZEUS を稼動できる範囲の目安となります。このように東京付近では、高度88.5°以上のごく狭い範囲が天頂問題によって望遠鏡を向けられない領域となります。

天頂問題の及ぶ範囲は、機械系の周回パルス数と観測地の緯度によって異なるため、瀬戸口貴司作による制御ソフト Yoc では、望遠鏡の向けられる範囲をソフト上で制限することができます。デフォルトは高度85°と設定されています。

POST-AA は、Yoc からの１秒毎の通信により、追尾速度を修正しています。このため、本来の変速曲線を微視的には折れ線で近似しており、本来の変速曲線との差は追尾誤差になります。

※ 角度の単位は断りのない限り「°(度)」で表記しています。

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